Родился в 1920 году в деревне Брынчаги ныне Переяславского района Ярославской области в семье крестьянина, русский, член ВЛКСМ. Закончил 7 классов, работал трактористом в Заозерской МТС.
В Советской Армии с 1940 года. В 1942 году окончил Сухумское военное пехотное училище. В боях Великой Отечественной войны с июня 1942 года.
Лейтенант Кошкин А. И. был командиром взвода автоматчиков ударного отряда особого назначения Туапсинского оборонительного района (18 армия, Закавказский фронт). Получив приказ выбить фашистов из седловины между горами Семашхо и Два брата и закрепиться на ней, лейтенант Кошкин в ночь на 30 октября 1942 года повел своих бойцов на выполнение боевого задания. Несмотря на трехкратное превосходство сил фашистов, советские автоматчики одержали победу. Во время боя лейтенант Кошкин был ранен в обе ноги. Мужественный советский командир управлял боем и вел огонь из своего автомата. Подошедшее к противнику подкрепление заметило раненого Кошкина. Несколько гитлеровцев окружило его, пытаясь взять живым. Кошкин, подпустив их близко к себе, подложил под себя противотанковую гранату и с криком «русские в плен не сдаются!» подорвал себя и фашистов.
31 марта 1943 года Кошкину Алексею Ивановичу было присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно). Награжден орденом Ленина.
Похоронен на склоне горы Семашхо. Его именем названы улицы в Переяславле-Залесском и Туапсе. В деревне Брынчаги установлен бюст Героя.
